VEKTOR
Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan :
Atau dapat juga dinyatakan sebagai :
Dimana
2. Panjang Vektor
Jika titik A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) maka vektor AB adalah :
3. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Jika vektor
4. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar
a. Penjumlahan atau pengurangan vektor
Contoh :
Diketahui vektor
Jawab :
b. Perkalian Skalar dengan vektor
5. Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor
a. Perkalian Skalar
b. Cross Product
d. Rumus Pembagian
Contoh : Diketahui titik A (-4, 1, 3 ), B (6, -4, 3) dan C (4, 5, -1) Titik R membagi AB sehingga 2AR = 3RB, vektor yang mewakili
Jawab :
Rumus Bangun Ruang – Matematika
2010
02.05
02.05
Rumus Kubus
- Volume : Sisi pertama dikali sisi kedua dikali sisi ketiga (S pangkat 3)

Rumus Balok
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi (p x l x t)

Rumus Bola
- Volume : phi dikali jari-jari dikali tinggi pangkat tiga kali 4/3 (4/3 x phi x r x t x t x t)
- Luas : phi dikali jari-jari kuadrat dikali empat (4 x phi x r x r)

Rumus Limas Segi Empat
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi dibagi tiga (p x l x t x 1/3)
- Luas : ((p + l) t) + (p x l)

Rumus Tabung
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi (phi x r2 x t)
- Luas : (phi x r x 2) x (t x r)

Rumus Kerucut
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi dibagi tiga (phi x r2 x t x 1/3)
- Luas : (phi x r) x (S x r)
- S : Sisi miring kerucut dari alas ke puncak (bukan tingi)

Rumus Prisma Segitiga Siku-siku
- Volume : alas segitiga kali tinggi segitiga kali tinggi prisma bagi dua (as x ts x tp x

- Volume : Sisi pertama dikali sisi kedua dikali sisi ketiga (S pangkat 3)
Rumus Balok
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi (p x l x t)
Rumus Bola
- Volume : phi dikali jari-jari dikali tinggi pangkat tiga kali 4/3 (4/3 x phi x r x t x t x t)
- Luas : phi dikali jari-jari kuadrat dikali empat (4 x phi x r x r)
Rumus Limas Segi Empat
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi dibagi tiga (p x l x t x 1/3)
- Luas : ((p + l) t) + (p x l)
Rumus Tabung
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi (phi x r2 x t)
- Luas : (phi x r x 2) x (t x r)
Rumus Kerucut
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi dibagi tiga (phi x r2 x t x 1/3)
- Luas : (phi x r) x (S x r)
- S : Sisi miring kerucut dari alas ke puncak (bukan tingi)
Rumus Prisma Segitiga Siku-siku
- Volume : alas segitiga kali tinggi segitiga kali tinggi prisma bagi dua (as x ts x tp x
Rumus-rumus Bangun Datar
A. Persegi
Luas = sisi x sisi x 1 ukuran persegiKeliling = 4 x sisi x 1 ukuran panjang
sisi = Akarkan Luas
sisi = Keliling dibagikan 4
_______________________________________________________________
B. Persegi Panjang
Luas = Panjang x Lebar x 1 Ukuran Persegi
Keliling = 2 x (Panjang + Lebar) x 1 Ukuran Panjang
_______________________________________________________________
C. Segitiga
Luas = ½ x Alas x Tinggi x 1 Ukuran Persegi
Keliling = a + b + c x 1 Ukuran Panjang
_______________________________________________________________
D. Lingkaran
Luas = 22/7 atau 3,14 x Jari-jari (r) x r x 1 Ukuran Persegi
Keliling = 22/7 atau 3,14 x Diameter (d) x 1 Ukuran Panjang
r = d dibagi 2
d = r dikali 2
_______________________________________________________________
E. Trapesium
Luas = ½ x (Jumlah Sisi Sejajar) x Tinggi x 1 Ukuran Persegi
Keliling = Sisi + Sisi + Sisi + Sisi x 1 Ukuran Panjang
_______________________________________________________________
F. Jajaran Genjang
Luas = Alas x Tinggi x 1 Ukuran Persegi
Keliling = Sisi + Sisi + Sisi + Sisi x 1 Ukuran Panjang
_______________________________________________________________
G. Layang – layang
Luas = ½ x Diagonal 1 x Diagonal 2 x 1 Ukuran Persegi
Keliling = Sisi + Sisi + Sisi + Sisi x 1 Ukuran Panjang
_______________________________________________________________
H. Belah Ketupat
Luas = ½ x Diagonal x Diagonal x 1 Ukuran Persegi
Keliling = Sisi + Sisi + Sisi + Sisi x 1 Ukuran
A. Kaidah Permutasi dan kombinasi
1. Permutasi :
Banyaknya kemungkinan dengan memperhatikan urutan ada
Misalkan n = A,B,C,D
Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC
= 12 kemungkinan
AB ≠
AC ≠
AD ≠
BC ≠
BA
CA
DA
CB
BD ≠ DB
CD ≠ DC
n= 4 ; r =2
Rumusnya : Prn = n Pr =
n!
(n − r )!
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
Prn =
4 x3 x 2 x1
n!
4!
= 12 kemungkinan (sama dengan di atas)
= P24 =
=
(n − r )!
(4 − 2)!
2 x1
Contoh soal :
Dari 7 orang perwakilan kelas dipilih ketua, sekretaris dan bendahara.
Banyak kemungkinan yang terjadi dengan tidak ada jabatan rangkap adalah ?
Jawab:
Diketahui n = 7 : r = 3
Penjelasan :
Jawabannya menggunakan permutasi karena setiap orang bisa menduduki kedudukan yang berbeda:
Misal 7 orang itu adalah : A,B,C,D,E,F,G
Apabila : A sebagai ketua
B sebagai sekretaris
C sebagai bendahara
Akan berbeda apabila :
A sebagai sekretaris
B sebagai bendahara
C sebagai sekretaris
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 2
Berarti memperhatikan urutan ada
7!
7 x6 x5 x 4 x3x 2 x1
P37 =
=
= 7x6x5 = 210 kemungkinan
(7 − 3)!
4 x3x 2 x1
1.1. Permutasi dengan beberapa unsur sama:
Jika ada n objek dengan r1 unsur sama, r2 unsur sama , ... rn unsur sama banyaknya susunan
yang mungkin ada :
Pr1n,r2
, rn
=
n!
r1!r2 !...rn !
Contoh soal :
Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf huruf “PENDIDIK” adalah:
Jawab :
Diketahui jumlah huruf =n = 8
Jumlah huruf yang > 1
D =2 = r1
I= 2 = r2
P281 , 2 =
8!
8 x7 x6 x5 x 4 x3 x 2 x1
=
= 10.080 susunan
2!2!.
2!2!.
2. Kombinasi :
Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan urutan ada
Misalkan n = A,B,C,D
dipilih 2 kejadian : AB, AC,AD, BA,BC,BD, CA,CB,CD, DA,DB,DC
AB = BA
BD = DB
AC = CA
CD = DC
AD = DA
BC = CB
Ke 6 kejadian di atas adalah sama sehingga dihitungnya 1
Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6 kemungkinan
(tidak memperhatikan urutan ada)
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 3
Rumusnya : C rn = n C r =
n!
r!(n − r )!
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
Diketahui
n = 4 dan r = 2
C rn =
n!
4!
4!
4 x3x 2 x1
4
=
= 6 kemungkinan (sama dgn di atas)
= C2 =
=
r!(n − r )!
2!(4 − 2)! 2!2! 2 x1x 2 x1
Contoh Soal :
Berapa kemungkinan yang terjadi apabila dari 10 orang anak akan diambil
sebagai pemain futsal ?
jawab:
pemain futsal adalah 5 orang sehingga r=5
sedangkan n = 10
penjelasan :
jawabnya menggunakan kombinasi karena 1 orang hanya mewakili 1 kemungkinan saja.
(beda apabila dipilih jadi ketua kelas atau sekretaris 1 orang tersebut bisa menjadi ketua kelas atau
sekretaris permutasi))
C rn =
n!
10!
10! 10 x9 x8 x7 x6 x5!
5040
10
=
=
= 42 kemungkinan
= C5 =
=
r!(n − r )!
5!(10 − 5)! 5!5! 5 x 4 x3x 2 x1x5!
120
B. Peluang suatu kejadian :
Rumus peluang kejadian :
P(A) =
n( A)
n( S )
p(A) = peluang kejadian
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 4
Contoh soal :
Jika sebuah dadu dan sekeping uang dilempar undi satu kali bersama, maka peluang untuk
memperoleh gambar pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah :
1
1
1
A.
C
E
12
4
2
B
1
6
1
3
D
Jawab :
Yang ditanya adalah peluang sehingga kita gunakan rumus : P(A) =
n( A)
n( S )
Kemudian kita cari :
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample
* banyaknya kejadian sample :
DADU
1 2 3 4 5 6
A A,1 A,2 A,3 A,4 A,5 A,6
G G,1 G,2 G,3 G,4 G,5 G,6
MATA UANG
A= Angka ; G = Gambar
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample = 12
* banyaknya kemungkinan kejadian A ( gambar dan bilangan ganjil)
Dari table diatas didapat (G,1); (G,3) dan (G,5) = n(A) = 3
Sehingga peluang kejadiannya= P(A) =
3
1
n( A)
=
=
n( S ) 12
4
C
C. Hukum-hukum Peluang :
1. Kejadian saling komplemen
Jika A ' = kejadian bukan A (komplemen A) maka :
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 5
P( A ' ) = 1 – P(A)
2. Dua kejadian :
a. P (A ∩ B ) = P(A) x P(B)
Kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B atau sebaliknya
(kejadian bebas)
b. P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
Jika A dan B saling lepas jika A ∩ B = φ
Contoh soal :
Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98.
Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus UNAS adalah....
Jawab:
Ini merupakan dua kejadian : kejadian 1
kejadian 2
siswa sekolah A lulus = P(A lulus)
siswa seolah B tidak lulus =P(B tidak lulus)
Yang ditanya adalah peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B tidak lulus
P(A lulus dan B tidak lulus) = P(A lulus ∩ B tidak lulus)
= P(A lulus) x P(B tidak lulus)
Diketahui : P(A lulus) = 0.99
P (B lulus) = 0.98
Dari rumus C(1)
P( A ' ) = 1 – P(A)
P(B tidak lulus) = 1 – P(B lulus)
= 1 – 0.98
= 0.02
Sehingga : P(A lulus ∩ B tidak lulus) = P(A lulus) x P(B tidak lulus)
= 0.99 x 0.02
= 0.0198
3. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari kejadian A adalah
fH(A) = P(A) x N
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
SMA - 6
fH(A) = frekuensi harapan kejadian A
P(A) = peluang kejadian A
N = banyaknya pecobaan
Contoh Soal :
Suatu percobaan lempar undi tiga mata uang logam sebanyak 104 kali.
Frekuensi harapan munculnya minimal sisi dua angka adalah....
Jawab:
fH(A) = P(A) x N
yang diketahui adalah N = 104
n( A)
P(A) =
n( S )
n(A) = kemungkinan kejadian minimal dua angka ; n(S) = kejadian sample
Mata uang 1(MU1)
A,G
Mata uang 2 (MU2)
A,G
Mata uang 3 (MU3)
A,G
A= angka : G=Gambar
MU1
n(S) =
A
A
A
A
G
G
G
G
MU2 MU3
A
A
G
G
A
A
G
G
A
G
A
G
A
G
A
G
minimal dua angka
*
*
*
*
Terlihat bahwa n(S) = 8
Kejadian minimal muncul dua angka (*) =n(A)= 4 kejadian
4
1
n( A)
P(A) =
= =
n( S )
8
2
Frekuensi harapannya adalah
fH(A) = P(A) x N =
1
x 104 = 52
2

